Analysis Beispiele

$\int (\frac{x - 8}{x + 12}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{x - 8}{x + 12} d x$

Schritt 2

Dividiere $x - 8$ durch $x + 12$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$12$

$x$

$8$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$12$		$x$	-	$8$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			+	$x$	+	$12$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 12$

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			-	$x$	-	$12$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			-	$x$	-	$12$
					-	$20$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{20}{x + 12} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \frac{20}{x + 12} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \frac{20}{x + 12} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \frac{20}{x + 12} d x$

Schritt 6

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$x + C - (20 \int \frac{1}{x + 12} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$x + C - 20 \int \frac{1}{x + 12} d x$

Schritt 8

Sei $u = x + 12$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = x + 12$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $x + 12$ .

$\frac{d}{d x} [x + 12]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 8.1.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - 20 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$x + C - 20 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$x - 20 \ln (| u |) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x + 12$ .

$x - 20 \ln (| x + 12 |) + C$