Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y^{\frac{1}{2}}$ aus $y^{\frac{1}{2}} - y$ heraus.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

Schritt 1.1.2.2

Faktorisiere $y^{\frac{1}{2}}$ aus $- y$ heraus.

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $y^{\frac{1}{2}}$ aus $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Schritt 1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 1.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 1.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

Schritt 1.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Schritt 2

Bringe $y^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 4.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

Schritt 4.6

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

Schritt 4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

Schritt 4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

Schritt 4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

Schritt 4.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

Schritt 4.8

Stelle $y^{- \frac{3}{2}}$ und $- y^{- 1}$ um.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 7

Das Integral von $y^{- 1}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Berechne $\ln (| y |)$ bei $4$ und $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 9.1.2

Berechne $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 9.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.1.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

Schritt 9.1.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

Schritt 9.1.3.10

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

Schritt 9.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

Schritt 9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

Schritt 9.3.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- \ln (4) + 1$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \ln (4) + 1$

Dezimalform:

$- 0.38629436 \dots$

Schritt 11