Analysis Beispiele

$y = {(1 - x)}^{2} \sinh (2 x)$

Schritt 1

Schreibe ${(1 - x)}^{2}$ als $(1 - x) (1 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x) \sinh (2 x)]$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(1 (1 - x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - x (- x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - 2 x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ und $g (x) = \sinh (2 x)$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sinh (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\sinh (u)$ nach $u$ ist $\cosh (u)$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) \cdot 2 + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 6.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)$ .

$2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Schritt 6.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

Schritt 7.4

Vereine die Terme

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

Schritt 7.4.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sinh (2 x)$ .

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) + \sinh (2 x) (2 x)$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

$- 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + 2 x \sinh (2 x) + 2 \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x)$