Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} (t^{2} - 9) (4 - t^{2}) d t$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{2}^{3} t^{2} (4 - t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Schritt 1.4

Stelle $t^{2}$ und $4$ um.

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Schritt 1.5

Stelle $t^{2}$ und $- 1$ um.

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} - 1 \cdot t^{2} t^{2} - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Schritt 1.6

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - (t^{2} t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{2 + 2} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Schritt 1.8

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 + 9 t^{2} d t$

Schritt 1.11

Stelle $4 t^{2}$ und $- t^{4}$ um.

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} - 36 + 9 t^{2} d t$

Schritt 1.12

Stelle $- 36$ und $9 t^{2}$ um.

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} + 9 t^{2} - 36 d t$

Schritt 1.13

Bewege $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 9 t^{2} + 4 t^{2} - 36 d t$

Schritt 1.14

Addiere $9 t^{2}$ und $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 13 t^{2} - 36 d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} - t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{2}^{3} t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{4}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} t^{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $t^{5}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 6

Da $13$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $13$ aus dem Integral.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 \int_{2}^{3} t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{t^{5}}{5}$ bei $3$ und $2$ .

$- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Schritt 10.2

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $3$ und $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Schritt 10.3

Berechne $- 36 t$ bei $3$ und $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{32}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{243 - 32}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.4

Subtrahiere $32$ von $243$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 10.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.6.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.8

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.9

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.11.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{27 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.11.2

Subtrahiere $8$ von $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{19}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.12

Kombiniere $13$ und $\frac{19}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{13 \cdot 19}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.13

Mutltipliziere $13$ mit $19$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.14

Um $- \frac{211}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.15

Um $\frac{247}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.16

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.4.16.1

Mutltipliziere $\frac{211}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.16.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.16.3

Mutltipliziere $\frac{247}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{3 \cdot 5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.16.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 211 \cdot 3 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.18.1

Mutltipliziere $- 211$ mit $3$ .

$\frac{- 633 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.18.2

Mutltipliziere $247$ mit $5$ .

$\frac{- 633 + 1235}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.18.3

Addiere $- 633$ und $1235$ .

$\frac{602}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.19

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 36 \cdot 2$

Schritt 10.4.20

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 72$

Schritt 10.4.21

Addiere $- 108$ und $72$ .

$\frac{602}{15} - 36$

Schritt 10.4.22

Um $- 36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} - 36 \cdot \frac{15}{15}$

Schritt 10.4.23

Kombiniere $- 36$ und $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} + \frac{- 36 \cdot 15}{15}$

Schritt 10.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{602 - 36 \cdot 15}{15}$

Schritt 10.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.25.1

Mutltipliziere $- 36$ mit $15$ .

$\frac{602 - 540}{15}$

Schritt 10.4.25.2

Subtrahiere $540$ von $602$ .

$\frac{62}{15}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{62}{15}$

Dezimalform:

$4.1\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{2}{15}$

Schritt 12