Analysis Beispiele

$(x + 1) (x + 2)$

Schritt 1

Schreibe $(x + 1) (x + 2)$ als Funktion.

$f (x) = (x + 1) (x + 2)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.4

Stelle $x$ und $2$ um.

$\int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Schritt 4.11

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x + 1) (x + 2)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$