Analysis Beispiele

$e^{x + y} = x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x + y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x + y} (1 + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache $e^{x + y} (1 + y')$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y' = x y' + y$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $e^{x + y}$ mit $1$ .

$e^{x + y} + e^{x + y} y' = x y' + y$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ um.

$e^{x + y} + y' e^{x + y} = x y' + y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x + y} + y' e^{x + y} - x y' = y$

Schritt 5.3

Subtrahiere $e^{x + y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{x + y} - x y' = y - e^{x + y}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x + y} - x y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x + y}$ heraus.

$y' (e^{x + y}) - x y' = y - e^{x + y}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (e^{x + y}) + y' (- x) = y - e^{x + y}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (e^{x + y}) + y' (- x)$ heraus.

$y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ durch $e^{x + y} - x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ durch $e^{x + y} - x$ .

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x + y} - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$