Analysis Beispiele

$80 + \frac{4}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $80 + \frac{4}{x + 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Schritt 1.2

Da $80$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $80$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{- 1}$ um.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $0$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$