Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{27}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = 9 x^{2} + 6$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{2} + 6$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Schritt 3.10

Faktorisiere $3$ aus $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Schritt 3.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Schritt 3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Schritt 3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

Schritt 3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.16

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

Schritt 3.17

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.17.1

Addiere $18 x$ und $0$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

Schritt 3.17.2

Kombiniere $18$ und $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

Schritt 3.17.3

Kombiniere $\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ und $x$ .

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Schritt 3.17.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

Schritt 3.17.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.17.5.1

Dividiere ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ durch $1$ .

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 3.17.5.2

Stelle die Faktoren von ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ um.

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$