Analysis Beispiele

$\int \frac{6 x^{2} - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} - 8 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2}) - 8 x + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (3)$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 9 x}$

Schritt 1.1.1.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x) + 3 x (3)}$

Schritt 1.1.1.2.4

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2 x)$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)}$

Schritt 1.1.1.2.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x^{2} - 2 x) + 3 x (3)$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3)}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $3 x (x^{2} - 2 x + 3)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{3 x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x (x^{2} - 2 x + 3))}{x (x^{2} - 2 x + 3)} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.6.2

Dividiere $2 (3 x^{2} - 4 x + 3)$ durch $1$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 3) = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 3 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = \frac{A (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.1.2

Dividiere $A (3 (x^{2} - 2 x + 3))$ durch $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = A (3 (x^{2} - 2 x + 3)) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A (x^{2} - 2 x + 3) + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 A (- 2 x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 3 A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} + 3 \cdot (- 2 A x) + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Schritt 1.1.9.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (3 x (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.1.9.6.2

Dividiere $(B x + C) (3 x)$ durch $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B x + C) (3 x)$

Schritt 1.1.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x (3 x) + C (3 x)$

Schritt 1.1.9.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + C (3 x)$

Schritt 1.1.9.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x \cdot x + 3 C x$

Schritt 1.1.9.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.10.1

Bewege $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B (x \cdot x) + 3 C x$

Schritt 1.1.9.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 A x^{2} - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Schritt 1.1.10

Stelle um.

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Schritt 1.1.10.1

Bewege $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 A x + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Schritt 1.1.10.2

Bewege $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 B x^{2} + 3 C x$

Schritt 1.1.10.3

Bewege $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 9 A + 3 x^{2} B + 3 C x$

Schritt 1.1.10.4

Bewege $9 A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A - 6 x A + 3 x^{2} B + 3 C x + 9 A$

Schritt 1.1.10.5

Bewege $- 6 x A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} A + 3 x^{2} B - 6 x A + 3 C x + 9 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = 3 A + 3 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = 9 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 9 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $6 = 9 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $9 A = 6$ um.

$9 A = 6$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 A = 6$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 A = 6$ durch $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 A}{9} = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{6}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 1.3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$A = \frac{3 (2)}{9}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$A = \frac{2}{3}$

$6 = 3 A + 3 B$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $6 = 3 A + 3 B$ durch $\frac{2}{3}$ .

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 = 3 (\frac{2}{3}) + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 6 A + 3 C$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $A$ in $- 8 = - 6 A + 3 C$ durch $\frac{2}{3}$ .

$- 8 = - 6 (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.2.4.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$- 8 = 3 (- 2) (\frac{2}{3}) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 = 3 \cdot (- 2 (\frac{2}{3})) + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.2.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 2 \cdot 2 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$- 8 = - 4 + 3 C$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3

Löse in $- 8 = - 4 + 3 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + 3 C = - 8$ um.

$- 4 + 3 C = - 8$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 C = - 8 + 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $- 8$ und $4$ .

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$3 C = - 4$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 C = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 C = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 C}{3} = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = \frac{- 4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$6 = 2 + 3 B$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- \frac{4}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 + 3 B = 6$ um.

$2 + 3 B = 6$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 B = 6 - 2$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$3 B = 4$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 B = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 B = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 B}{3} = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{4}{3}, C = - \frac{4}{3}, A = \frac{2}{3}$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} - 2 x + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{4}{3} x - \frac{4}{3}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.5.1.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x - \frac{4}{3})}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (- \frac{4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) + 3 (\frac{- 4}{3})}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3} x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{3 (\frac{4}{3}) \cdot x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 x - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 4$ heraus.

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Schritt 1.5.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) - 4}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.4.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 3$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (3)}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)}$

Schritt 1.5.5.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (3)$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Schritt 1.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)}$

Schritt 1.5.7

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{2}{3 x} + \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{3 x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 (x - 1)}{3 (x^{2} - 2 x + 3)} d x$

Schritt 5

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{4}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 3} d x$

Schritt 6

Sei $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Dann ist $d u = (2 x - 2) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x^{2} - 2 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3]$

Schritt 6.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$2 x - 2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x + 3$ .

$\frac{2}{3} \ln (| x |) + \frac{2}{3} \ln (| x^{2} - 2 x + 3 |) + C$