Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{x + y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + y - x - x y'$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y'$ heraus.

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y') - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $- (x y' - y)$ als $- 1 (x y' - y)$ um.

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + y)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ in den Zähler.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $- - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Schritt 5.2.1.4

Bewege $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Schreibe $- 1 y'$ als $- y'$ um.

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Addiere $y' x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.2

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.3.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.2.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' x^{2}$ heraus.

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' x y$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2}$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ heraus.

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ heraus.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ heraus.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ durch $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ durch $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$