Analysis Beispiele

$\sqrt{9 x} \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 x} \sin (x)]$ als $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x} \sin (x)]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} x} \sin (x)]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x} \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 3 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$