Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} (x + 1))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} (x + 1)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

Schritt 4.4.8

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ um.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

Schritt 4.6.2

Multipliziere mit $1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3 x^{2} + 2 x$ mit $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 4.8.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 4.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

Schritt 4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x + 1)$ heraus.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Schritt 4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Schritt 4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$