Analysis Beispiele

$x^{2} = e^{x - y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ um.

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ durch $e^{x - y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ durch $e^{x - y}$ .

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x - y}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $1 - y'$ durch $1$ .

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ als $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ um.

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$