Analysis Beispiele

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $y^{2} + x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + 0)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y \cdot y}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 7

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$