Analysis Beispiele

$\int 5 (5^{5 x}) d x$

Schritt 1

Mutltipliziere $5$ mit $5^{5 x}$ .

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Schritt 1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$\int 5^{1} \cdot 5^{5 x} d x$

Schritt 1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5^{1 + 5 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$0 + 5$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $5$ .

$5$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Schritt 3

Kombiniere $5^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $5^{u}$ nach $u$ ist $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ als $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ um.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5 \ln (5)} \cdot 5^{1 + 5 x} + C$