Analysis Beispiele

$e^{x y} = y - x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (y - x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{x y} (x + y x')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [- x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$1 - \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$1 - x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 1 - x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ um.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 1 - x'$

Schritt 5.2

Addiere $x'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} + x' = 1$

Schritt 5.3

Subtrahiere $x e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' e^{x y} + x' = 1 - x e^{x y}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x'$ aus $y x' e^{x y} + x'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $y x' e^{x y}$ heraus.

$x' (y e^{x y}) + x' = 1 - x e^{x y}$

Schritt 5.4.2

Potenziere $x'$ mit $1$ .

$x' (y e^{x y}) + x' = 1 - x e^{x y}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x'$ aus ${x'}^{1}$ heraus.

$x' (y e^{x y}) + x' \cdot 1 = 1 - x e^{x y}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (y e^{x y}) + x' \cdot 1$ heraus.

$x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$ durch $y e^{x y} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$ durch $y e^{x y} + 1$ .

$\frac{x' (y e^{x y} + 1)}{y e^{x y} + 1} = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y e^{x y} + 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y e^{x y} + 1)}{y e^{x y} + 1} = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{1 - x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$