Analysis Beispiele

\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x = x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} + C

$\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x = x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} + C$

Schritt 1

\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x

$\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x$ is eine Stammfunktion von

(2 x^{3} + 2 x) u (x)

$(2 x^{3} + 2 x) u (x)$ , folglich ist per Definition

\frac{d}{d x} [\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x]

$\frac{d}{d x} [\int (2 x^{3} + 2 x) u (x) d x]$ gleich

(2 x^{3} + 2 x) u (x)

$(2 x^{3} + 2 x) u (x)$ .

(2 x^{3} + 2 x) u (x)

$(2 x^{3} + 2 x) u (x)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

(2 x^{3} u + 2 x u) x

$(2 x^{3} u + 2 x u) x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

2 x^{3} u x + 2 x u x

$2 x^{3} u x + 2 x u x$

Schritt 2.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.1

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

2 u (x^{3} x^{1}) + 2 x u x

$2 u (x^{3} x^{1}) + 2 x u x$

Schritt 2.3.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

2 u x^{3 + 1} + 2 x u x

$2 u x^{3 + 1} + 2 x u x$

Schritt 2.3.3

Addiere

3

$3$ und

1

$1$ .

2 u x^{4} + 2 x u x

$2 u x^{4} + 2 x u x$

Schritt 2.3.4

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

2 u x^{4} + 2 u (x^{1} x)

$2 u x^{4} + 2 u (x^{1} x)$

Schritt 2.3.5

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

2 u x^{4} + 2 u (x^{1} x^{1})

$2 u x^{4} + 2 u (x^{1} x^{1})$

Schritt 2.3.6

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

2 u x^{4} + 2 u x^{1 + 1}

$2 u x^{4} + 2 u x^{1 + 1}$

Schritt 2.3.7

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

2 u x^{4} + 2 u x^{2}

$2 u x^{4} + 2 u x^{2}$

2 u x^{4} + 2 u x^{2}

$2 u x^{4} + 2 u x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

2 x^{4} u + 2 x^{2} u

$2 x^{4} u + 2 x^{2} u$

2 x^{4} u + 2 x^{2} u

$2 x^{4} u + 2 x^{2} u$