Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x^{2} + y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 13

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 17

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Schritt 18

Vereinfache Terme.

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Schritt 18.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 18.2

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Schritt 18.3

Kombiniere $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 18.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 18.5.1

Dividiere ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ durch $1$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 18.5.2

Stelle die Faktoren von ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ um.

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$