Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{8}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 8 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f' (x) = 2 x - 8 x^{- 2}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 8 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 8}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{8}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 1.2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 16 x^{- 3}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{x^{3}}$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + 2$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{16}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{16}{x^{3}} = - 2$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ .

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 = - 2 x^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{3} = 16$ um.

$- 2 x^{3} = 16$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3} - 16$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 16$ heraus.

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 8 = 0$

Schritt 2.5.3.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{3}) - 2 (8)$ heraus.

$- 2 (x^{3} + 8) = 0$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- 2 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Schritt 2.5.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 2.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.5.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5.6

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.1

Setze $x^{2} - 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Löse $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 2$ in $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{8}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 4 + \frac{8}{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $8$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (- 2) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{{(- 2.1)}^{3}} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $3$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{- 9.261} + 2$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $16$ durch $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 1.72767519 + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 1.72767519$ und $2$ .

$f'' (- 2.1) = 0.2723248$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.2723248$ .

$0.2723248$

Schritt 5.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $0.2723248$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{{(- 1.9)}^{3}} + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.9$ mit $3$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{- 6.859} + 2$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $16$ durch $- 6.859$ .

$f'' (- 1.9) = - 2.33270155 + 2$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 2.33270155$ und $2$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.33270155$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.33270155$ .

$- 0.33270155$

Schritt 6.3

Bei $- 1.9$ , die zweite Ableitung ist $- 0.33270155$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, \infty)$

Abfallend im Intervall $(- 2, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- 2, 0)$ .

$(- 2, 0)$

Schritt 8