Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ als $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ um.

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Schritt 3.1.5

Addiere $0$ und $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Schritt 4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$