Analysis Beispiele

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 x}$ als ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $9 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 4.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 4.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.15

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 4.16

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.17

Vereinfache.

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Schritt 4.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.17.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$