Analysis Beispiele

$- x^{3} + y^{3} - x y = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} + y^{3} - x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + y^{3} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y' + y)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (x y') - y$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - x y' - y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - x y' - y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - x y' - y = 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - x y' = 3 x^{2} + y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - x y' = 3 x^{2} + y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- x) = 3 x^{2} + y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (- x)$ heraus.

$y' (3 y^{2} - x) = 3 x^{2} + y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - x) = 3 x^{2} + y$ durch $3 y^{2} - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - x) = 3 x^{2} + y$ durch $3 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - x)}{3 y^{2} - x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - x} + \frac{y}{3 y^{2} - x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} - x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} - x)}{3 y^{2} - x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - x} + \frac{y}{3 y^{2} - x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - x} + \frac{y}{3 y^{2} - x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} + y}{3 y^{2} - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + y}{3 y^{2} - x}$