Analysis Beispiele

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^{- 3} - 5) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} - 5 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1}$ und $- 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x$ bei $1$ und $\frac{1}{2}$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2} - 5 \cdot 1) - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.4

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{- 1 - 10}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.7.2

Subtrahiere $10$ von $- 1$ .

$\frac{- 11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.9

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 4}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2}{1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.13.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 - 5 (\frac{1}{2}))$

Schritt 5.2.2.14

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 + \frac{- 5}{2})$

Schritt 5.2.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{2} - (- 2 - \frac{5}{2})$

Schritt 5.2.2.16

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})$

Schritt 5.2.2.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})$

Schritt 5.2.2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11}{2} - \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Schritt 5.2.2.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.19.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 4 - 5}{2}$

Schritt 5.2.2.19.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 9}{2}$

Schritt 5.2.2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{2} - - \frac{9}{2}$

Schritt 5.2.2.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{11}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Schritt 5.2.2.22

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{11}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 5.2.2.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 11 + 9}{2}$

Schritt 5.2.2.24

Addiere $- 11$ und $9$ .

$\frac{- 2}{2}$

Schritt 5.2.2.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.25.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 5.2.2.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.25.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 5.2.2.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 5.2.2.25.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 6