Analysis Beispiele

${(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{\cos (2 x)}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (2 x)$ und $g (x) = x$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ und $3$ .

$\frac{(x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)) \cdot 3}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

Schritt 4.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (2 x)}{x}$ an.

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6 (x (\sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}}$ mit $\frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2 + 2}}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x \sin (2 x)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x))$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x)))}{x^{4}}$

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x) (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x \sin (2 x)$ heraus.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{4}}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ heraus.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Schritt 5.10

Schreibe $- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ als $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ um.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Schritt 5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

Schritt 5.12

Stelle die Faktoren in $- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$ um.

$- \frac{3 \cos^{2} (2 x) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$