Analysis Beispiele

$\int \sqrt{x^{3}} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = \sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int \frac{x^{\frac{5}{2}}}{x} d x)$

Schritt 4.2

Bringe $x^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} x^{- 1} d x)$

Schritt 4.3

Multipliziere $x^{\frac{5}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1} d x)$

Schritt 4.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 2}{2}} d x)$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{2 \ln (x)}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$