Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + e^{2 x}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 x + e^{2 x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{2 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 x + e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$