Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2 y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2 y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 y}$ .

$\frac{2}{2 y} x + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{2}{2 y}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 y^{2}}{x}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x}{y} + 3 y^{2} (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x}{y} - 3 y^{2} x^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x}{y} - 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{y} + y^{2} \frac{- 3}{x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{- 3}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{y^{2} \cdot - 3}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{- 3 \cdot y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{y} - \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$