Analysis Beispiele

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$