Analysis Beispiele

$y = 3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t^{7}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{7}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$3 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$21 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 6 t^{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 6 t^{4}$ nach $t$ gleich $- 6 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$21 t^{6} - 6 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$21 t^{6} - 6 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [8 t^{3}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8 t^{3}$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d t} [- 12^{t}]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 12^{t}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [12^{t}]$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $12$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [18]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.6.1

Da $18$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$ und $0$ .

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$