Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 10.2

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 (π)}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.4

Schreibe $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.10

Addiere $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8}$ und $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Schritt 10.3.11

Um $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 10.3.12

Kombiniere $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ und $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

Schritt 10.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

Schritt 10.3.14

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{8}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 10.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 10.3.15.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 10.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 10.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 10.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{2}{1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 10.3.15.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Schritt 11.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{8}$

Schritt 11.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{8}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{0 π + 2 (1 - 0)}{8}$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 0)}{8}$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2 (1 + 0)}{8}$

Schritt 11.7

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{8}$

Schritt 11.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{0 + 2}{8}$

Schritt 11.9

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2}{8}$

Schritt 11.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 11.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{8}$

Schritt 11.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$