Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Schritt 1

Nehme die Ableitung von $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Schritt 4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Schritt 5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$