Analysis Beispiele

$\sin^{2} (x) - \sin (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin^{2} (x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \cos (x)$

Schritt 4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Schritt 4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) - \cos (x)$