Analysis Beispiele

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Dann ist $d u_{2} = - \tan (x) d x$ , folglich $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die Faktoren von $\sec (x) (- \sin (x))$ um.

$- \sec (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.5.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.5.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- \tan (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$