Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Schritt 1

Dividiere $x + 3$ durch $4 x + 4$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4 x + 4$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (2)$ heraus.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Schritt 3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x + 2$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$