Analysis Beispiele

$4 x^{2} - y^{2} = 7 x - 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (7 x - 5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$8 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$8 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 x - (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 x - 2 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 2 y y' + 8 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $7$ und $0$ .

$7$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y y' + 8 x = 7$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' = 7 - 8 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y y' = 7 - 8 x$ durch $- 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y y' = 7 - 8 x$ durch $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8 x$ heraus.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 (y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{4 x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7}{2 y} + \frac{4 x}{y}$