Analysis Beispiele

$\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}]$ .

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Schritt 2.1

Da $80$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}$ nach $t$ gleich $80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}]$ .

$80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \sin (0.6 t)$ und $g (t) = t$ .

$80 \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (0.6 t)] - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = 0.6 t$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$80 \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.4

Da $0.6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.6 t$ nach $t$ gleich $0.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \frac{d}{d t} [t])) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $0.6$ mit $1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \cdot 0.6) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.8

Bringe $0.6$ auf die linke Seite von $\cos (0.6 t)$ .

$80 \frac{t (0.6 \cdot \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$80 \frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 2.10

Kombiniere $80$ und $\frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Schritt 3

Da $15$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $0.6$ mit $80$ .

$\frac{48 (t (\cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $80$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}} + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ und $0$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $16$ aus $48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $16$ aus $48 t \cos (0.6 t)$ heraus.

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $16$ aus $- 80 \sin (0.6 t)$ heraus.

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))$ heraus.

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t) - 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$