Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Schritt 2

Schreibe $x \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ um.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 3.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 3.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Schritt 3.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Schritt 3.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Schritt 3.6.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$