Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 7} \frac{49 - x^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 7} 49 - x^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 7} 49 - lim_{x \to - 7} x^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $49$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 7$ annähert.

$\frac{49 - lim_{x \to - 7} x^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{49 - {(lim_{x \to - 7} x)}^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$\frac{49 - {(- 7)}^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{49 - 1 \cdot 49}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{49 - 49}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $49$ von $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 7} x^{3} + lim_{x \to - 7} 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 7} x)}^{3} + lim_{x \to - 7} 7 x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 7} x)}^{3} + 7 lim_{x \to - 7} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 7} x)}^{3} + 7 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 7$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 7)}^{3} + 7 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$\frac{0}{{(- 7)}^{3} + 7 {(- 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 343 + 7 {(- 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 343 + 7 \cdot 49}$

Schritt 1.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $49$ .

$\frac{0}{- 343 + 343}$

Schritt 1.1.3.6.2

Addiere $- 343$ und $343$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 7} \frac{49 - x^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} = lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [49 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [49 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $49 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 7 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 7 (2 x)}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 14 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to - 7} \frac{x}{3 x^{2} + 14 x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{lim_{x \to - 7} 3 x^{2} + 14 x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 7$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{lim_{x \to - 7} 3 x^{2} + lim_{x \to - 7} 14 x}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{3 lim_{x \to - 7} x^{2} + lim_{x \to - 7} 14 x}$

Schritt 2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{3 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + lim_{x \to - 7} 14 x}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{3 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + 14 lim_{x \to - 7} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 7$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$- 2 \frac{- 7}{3 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + 14 lim_{x \to - 7} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$- 2 \frac{- 7}{3 {(- 7)}^{2} + 14 lim_{x \to - 7} x}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 7$ für $x$ .

$- 2 \frac{- 7}{3 {(- 7)}^{2} + 14 \cdot - 7}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 7$ und $3 {(- 7)}^{2} + 14 \cdot - 7$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7$ heraus.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{3 {(- 7)}^{2} + 14 \cdot - 7}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $3 {(- 7)}^{2}$ heraus.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{- 7 (3 \cdot - 7) + 14 \cdot - 7}$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $- 7$ aus $14 \cdot - 7$ heraus.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{- 7 (3 \cdot - 7) - 7 (- 2 \cdot - 7)}$

Schritt 4.1.2.3

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 (3 \cdot - 7) - 7 (- 2 \cdot - 7)$ heraus.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{- 7 (3 \cdot - 7 - 2 \cdot - 7)}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 (3 \cdot - 7 - 2 \cdot - 7)}$

Schritt 4.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{1}{3 \cdot - 7 - 2 \cdot - 7}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$- 2 \frac{1}{- 21 - 2 \cdot - 7}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 7$ .

$- 2 \frac{1}{- 21 + 14}$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 21$ und $14$ .

$- 2 (\frac{1}{- 7})$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \frac{1}{7})$

Schritt 4.4

Multipliziere $- 2 (- \frac{1}{7})$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 (\frac{1}{7})$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{7}$

Dezimalform:

$0.\overline{285714}$