Analysis Beispiele

$x^{4} + 4 y = 8 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 4 y) = \frac{d}{d x} (8 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} + 4 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x y$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$8 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x y' + 8 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{3} + 4 y' = 8 x y' + 8 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $8 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + 4 y' - 8 x y' = 8 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y' - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' - 8 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y'$ heraus.

$4 y' \cdot 1 - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 8 x y'$ heraus.

$4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x)$ heraus.

$4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ durch $4 (1 - 2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ durch $4 (1 - 2 x)$ .

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- x^{3}}{1 - 2 x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} - \frac{x^{3}}{1 - 2 x}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$