Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere.

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 3.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Schritt 3.3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $- \frac{u_{2}}{2}$ bei $e^{- t^{2}}$ und $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ als ein Produkt um.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Schritt 6.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Schritt 7.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Schritt 7.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Schritt 7.2

Da der Exponent $- t^{2}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- t^{2}}$ $0$ an.

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.3.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2 e}$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Schritt 7.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Schritt 7.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Schritt 7.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 e$ heraus.

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Schritt 7.3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 7.3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{1}{e}$

Schritt 7.3.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{e}$

Dezimalform:

$0.73575888 \dots$