Analysis Beispiele

$- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{3 x} \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{3 x}$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 2.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{3 x} \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$

Schritt 3.2

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ gleich $a^{u_{4}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $3 x$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \cdot 3))$

Schritt 3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 (e^{3 x} (\cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 (\sin (2 x) (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 (e^{3 x} (\sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 (\cos (2 x) (e^{3 x}))$

Schritt 4.3.5

Subtrahiere $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ von $- 6 \sin (2 x) e^{3 x}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Bewege $\sin (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ von $- 6 e^{3 x} \sin (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ und $9 \cos (2 x) e^{3 x}$ .

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Schritt 4.3.6.1

Bewege $\cos (2 x)$ .

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) + 9 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ und $9 e^{3 x} \cos (2 x)$ .

$5 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$