Analysis Beispiele

$- 2 x^{2} + 1 + x y^{2} = - 2 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$- 4 x + 0 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 4 x + 0 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 x + 0 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 x y y' + y^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$- 4 x + 2 x y y' + y^{2}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 6 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x = - 6 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $6 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = - y^{2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 x y y' + 6 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$2 y y' x + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $6 y^{2} y'$ heraus.

$2 y y' x + 2 y y' (3 y) = - y^{2} + 4 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' x + 2 y y' (3 y)$ heraus.

$2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ durch $2 y (x + 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ durch $2 y (x + 3 y)$ .

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3 y$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y)}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (x + 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 y (x + 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 3 y)$ heraus.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$