Analysis Beispiele

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ als $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ um.

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.5

Vereinfache $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3.1.6

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

Schritt 4.3.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 11

Sei $u_{2} = - 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 11.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 12.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$