Analysis Beispiele

$\frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2 \sqrt{x}}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 5.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{1}{2}} + C$