Analysis Beispiele

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}]$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (e^{x} + x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (e^{x} + x)$ und $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $e^{x} + x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x} + x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{x} + x}$ und $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 8.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ und $\frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{e^{x} + x}$ mit $e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

Schritt 9.1.2

Um $- \ln (e^{x} + x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x) \cdot \frac{e^{x} + x}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $- \ln (e^{x} + x)$ und $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} + \frac{- \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

Schritt 9.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x \cdot 1 - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

Schritt 9.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

Schritt 9.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

Schritt 9.1.6

Kombiniere $e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ und $\frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}$ .

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

Schritt 9.1.7

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}$ um.

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Schreibe $\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{(e^{x} + x) x^{2}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{x^{2} (e^{x} + x)}$