Analysis Beispiele

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{7 + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $7$ und $25$ .

$\frac{\sqrt[5]{32} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\frac{\sqrt[5]{2^{5}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{0}{7 - 7}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[5]{x + 25} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x + 25}$ als ${(x + 25)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ und $g (x) = x + 25$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 25$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 25$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.9.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{- 4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.12

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.13

Mutltipliziere $\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.3.14

Bringe ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 7} \frac{1}{{(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $\frac{4}{5}$ von ${(x + 25)}^{\frac{4}{5}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Addiere $7$ und $25$ .

$\frac{1}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\frac{1}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5 \cdot 2^{4}}$

Schritt 4.3.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{5 \cdot 16}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$\frac{1}{80}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{80}$

Dezimalform:

$0.0125$