Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{64 x^{6}}}{x^{5}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{64 x^{6}}}{x^{5}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{x^{5}}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $64 x^{6}$ als ${(4 x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{2})}^{3}}}{x^{5}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{x^{5}}]$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{5}}]$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}]$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$4 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 12 x^{- 4}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 12$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 12}{x^{4}}$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12}{x^{4}}$