Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (1 + 2 x + 3 x^{2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $x$ bei $1$ und $0$ .

$(1) + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4

Vereinfache.

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Schritt 9.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.6

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 1 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 9.2.4.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 9.2.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.4.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 9.2.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 9.2.4.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 9.2.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 9.2.4.14

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3})$

Schritt 9.2.4.15

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 + \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.4.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.4.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.4.16.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 1$

Schritt 9.2.4.17

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 10