Analysis Beispiele

$\int_{2}^{x} (3 t^{2} - 1) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{2}^{x} 3 t^{2} - 1 d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{2}^{x} t^{2} d t + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{x}) + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{x}) + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{x}) + - t]_{2}^{x}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $x$ und $2$ .

$3 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + - t]_{2}^{x}$

Schritt 7.1.2

Berechne $- t$ bei $x$ und $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - x + 1 \cdot 2$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{8}{3}) - x + 1 \cdot 2$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{8}{3}) - x + 2$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{8}{3}) - x + 2$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{8}{3}) - x + 2$

Schritt 8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- \frac{8}{3}) - x + 2$

Schritt 8.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- \frac{8}{3}) - x + 2$

Schritt 8.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + 3 (- \frac{8}{3}) - x + 2$

Schritt 8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{3}$ in den Zähler.

$x^{3} + 3 (\frac{- 8}{3}) - x + 2$

Schritt 8.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + 3 (\frac{- 8}{3}) - x + 2$

Schritt 8.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 8 - x + 2$

Schritt 8.2

Addiere $- 8$ und $2$ .

$x^{3} - x - 6$