Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x - 2}} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x - 2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ .

$F (x) =$ $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + C$